Nach welchem Prinzip werden Beweise geführt, die Aussagen über unendlich wiederholte Vorgänge machen?

 Nach welchem Prinzip werden Beweise bewiesen, die Aussagen über unendlich wiederholte Vorgänge machen?

Das wichtigste Beweisprinzip in der Mathematik, das Aussagen über unendlich wiederholte Vorgänge oder die gesamte Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ (oder eine entsprechende abzählbar unendliche Menge) beweist, ist die vollständige Induktion (engl. Mathematical Induction).

Dieses deduktive Verfahren basiert auf der sogenannten Induktionseigenschaft der natürlichen Zahlen (die oft als Axiom angenommen wird, z.B. als fünftes Peano-Axiom) und besteht aus zwei Schritten, um die Allgemeingültigkeit einer Aussage $A(n)$ für alle $n \in \mathbb{N}$ zu zeigen:

1. Induktionsanfang (IA): Man zeigt, dass die Aussage $A(n)$ für den kleinsten Wert (meist $n=1$ oder $n=0$) gültig ist.

2. Induktionsschritt (IS): Man zeigt, dass wenn die Aussage für eine beliebige natürliche Zahl $n$ gilt (Induktionsvoraussetzung, IV), sie auch für den Nachfolger $n+1$ gelten muss (Induktionsbehauptung). Formal: $A(n) \implies A(n+1)$.

Wenn beide Schritte erfolgreich durchgeführt wurden, gilt die Aussage $A(n)$ als für alle natürlichen Zahlen bewiesen. Man kann sich das bildlich wie eine Dominokette vorstellen:

• Der Induktionsanfang stößt den ersten Stein um.

• Der Induktionsschritt beweist, dass jeder Stein, der umfällt, den nächsten Stein umstößt.

  Daher fallen alle Steine (alle Zahlen) um, d.h., die Aussage ist für alle gültig.

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Dieses Video erklärt die Vollständige Induktion Schritt für Schritt anhand der Beweisführung einer Summenformel.